Я с раннего возраста участвовал на различных олимпиадах и соревнованиях по математике. Тогда республиканские олимпиады, проводившиеся центром «Дарын» при Министерстве образования, были единственным способом получить знак «Алтын белгi» и попасть на учебу в престижный университет. Сейчас, к счастью, больше доступных программ и возможностей для школьников. Олимпиады немного утратили свой престиж, что, впрочем, хорошо, так как несколько лет назад была очень нездоровая конкуренция и жалобы на несправедливые решения жюри и организаторов. Поэтому советы бывшего участника олимпиад достаточно бесполезны. Тем не менее, если вы готовите ученика или готовитесь сами, возможно что-то из моего личного опыта будет полезно.
У меня всегда были прекрасные учителя: в детстве это были мои родные тёти, затем в школе, кроме тёть, учитель биологии и географии, в лицее — учитель математики, в университете — любимые профессора. Две тёти, одна преподаватель математики, другая — русского языка и литературе, с детства привили мне любовь к чтению и математике. Я любил читать сборники логических задач для детей, кажется, названия были «Гимнастика для ума или 500 занимательных задач», «Занимательная математика», «В царстве математики» (?), к сожалению, точных названий уже не вспомню. Но книги научили решать простые логические задачи, дали несколько стандартных подходов к их решению.
Еще в своей первой сельской школе в начальных и средних классах я хорошо решал школьные задачи и, кажется, посещал факультатив по математике. В 1998 году я выиграл районную олимпиаду и готовился к областной. Проблема была в том, что я совсем не знал, как готовиться к олимпиаде, местные учителя пытались помочь, как могли, но такого опыта у них тоже не было. На руках у меня было несколько справочников, «Энциклопедия юного математика» (занимательная книга, но почти бесполезная для подготовки к олимпиаде), сборник «Задачи математических олимпиад» под редакцией И. Л. Бабинской и какая-то тонкая книжка с примерами задач из старых международных олимпиад, которая как-то оказалась у одной из школьных учительниц. На областной олимпиаде я занял третье место среди девятиклассников и через какое-то время оказался в областном казахско-турецком лицее.
В лицее был замечательный учитель математики — Муаммер Гюль, удостоившийся уже в 30 лет высшей категории и благодарственных писем от Президента РК. Весь секрет был в том, что он является не гениальным математиком (математик он вполне посредственный), а очень-очень хорошим управленцем и ментором. Я думаю, не только каждый учитель, но каждый родитель должен быть именно таким — мотивировать своих детей к учёбе, ставить перед ними высокие — но вполне выполнимые — задачи, уметь находить личный подход к одаренному ребенку. Совсем необязательно уметь решать сложные задачи — для этого есть специальные учителя и тренеры, но нужно уметь объяснить воспитаннику зачем и почему это нужно. Еще одной важной особенностью моего лицея была сложившаяся система и группа учеников. В лицее было примерно 3-4 «олимпийца» каждого уровня старших классов (с 9 по 11) и по 5-6 семиклассников и восьмиклассников. Тренировкой младших уровней занимались старшеклассники, регулярно проводились тренировочные экзамены, между всеми учениками была здоровая конкуренция. Причем уже с первых лет учебы в лицее у учителя установились хорошие отношения со всеми учениками нашей группы, учитель-ментор мог похвалить за хорошую работу, пожурить, а то и дать хороший подзатыльник за прогул занятий или еще какие-нибудь шалости. Главное, естественно, чувствовать грань дозволенного.
Большую часть своего времени мы проводили в подготовке к олимпиаде. В подготовке есть два основных этапа. Мы начинали примерно с конца седьмого класса, но, наверное, полезно начинать уже с пятого класса. В первое время (7-9 классы) больший упор ставится на усвоение нового материала: теорем, формул, классических примеров и задач. В старших классах полезнее всего просто тренироваться и решать задачи. Если начинать готовить, например, с пятого класса, то можно ребенку просто давать больше логических интересных задач — объяснять пятикласснику теорему Ферма еще рановато. В старших классах мы чувствовали себя обязанными передавать часть знаний младшим поколениям — я многому научился от своих предшественников, поэтому пытался оставить после себя что-то уже в лицее. После уроков я тренировался сам, на выходных мы устраивали тренировочные олимпиады для себя и младшеклассников. Иногда проводили для последних занятия. Кстати, в 16 лет я получил свой первый заработок — готовил семиклассников в зимнем лагере РНПЦ «Дарын».
Так как мы участвовали на олимпиадах и делали хорошую рекламу нашего учебного заведения, учителя по остальным предметам относились к нам достаточно снисходительно. Перед олимпиадами нас освобождали от занятий. Многие относятся к этому негативно, считая, что в лицеях ученики получают «однобокое» образование, и с этим трудно поспорить. С другой стороны, этому есть оправдание — чтобы достичь успеха на определенном уровне необходимо делать какие-то жертвы, более того, при поступлении в университет меньше требуется глубокое знание непрофильных предметов, третий довод в защиту — если ученик участвует на олимпиадах, то он способен получать хорошие отметки и по другим предметам.
Когда я только начинал готовиться к олимпиадам, мой учитель рассказал мне о своих бывших учениках, поступивших в престижные университеты (Ренат Бекболатов, один из первых выпускников нашего лицея окончил Калифорнийский технический институте, знаменитый Caltech). В седьмом классе пределом моих мечтаний был, наверно, Босфорский университет, однако уже в 10 классе я понимал, что при определенной доле удачи я могу поступить в любой университет мира. В 10 классе я вполне серьезно рассматривал возможность поступления в École Polytechnique, а уже в 11 — поставил перед собой цель поступить в США. Это было хорошей мотивацией, хотя самой большой была, наверно, попытка доказать себе, что я способен чего-то добиться. Нужно было только ставить реалистичные задачи. Например, когда в девятом классе я участвовал среди десятиклассников, целью было войти в тройку — «фаворитами» тогда были Аман Жумекешов из моей школы и Игорь Ганичев из Усть-Каменогорска (он уже тогда получил первую за 10 лет казахстанскую серебряную медаль на международной олимпиаде, позднее он окончит Массачусеттский технический институт по специальностям «Математика» и «Информатика» и защитит докторскую степень в университете Беркли), а уже в 11 классе задача была только победить.
Олимпиады — это было самое интересное. В последние дни перед олимпиадами тренировались мы особенно усердно. Однако за один-два дня до начала необходимо отложить все учебники и задачники, разгрузить мозг и готовиться психологически. Это было «золотое правило» — никакой математики, начиная с официального открытия олимпиады. Вечером накануне первого дня олимпиады наш учитель обычно собирал математиков и говорил что-то вроде ободряющей речи. Со многими он говорил и лично, например, мне говорил, что я обязан решить все геометрические задачи, так как лучше меня, по его словам, их никто не решал, говорил о потенциальных соперниках, просил не волноваться. Другим «золотым правилом» было то, что никто не должен покидать аудиторию раньше конца экзамена. Даже если удавалось решить все задачи раньше времени, нужно было проверять и перепроверять все решения. Мы, конечно, иногда хитрили, если удавалось закончить всё раньше, показывали всем видом, что справились. Наверно, это психологически действовало на соперников и было довольно нечестно.
Еще один ритуал — утром, перед самым началом экзамена, учитель всем раздавал купленные им шоколадки. Каждый раз. Тогда мы и не задумывались о том, сколько денег он тратил на шоколадки, печенье, кока-колу и ужины в турецких ресторанах. Это было как что-то само собой разумеющееся, как то, что наши родители нас кормят и покупают нам одежду. Таков был уровень отношений между нами и нашим учителем.
Ниже я привожу несколько собственных соображений и советов для учителей и ребят, готовящихся к олимпиадам.
Учителю/тренеру
1) Если учеников в группе можно разбить на несколько поколений или уровней мастерства, должна сохранятся «преемственность» и «солидарность» поколений. Ученики постарше должны посвящать часть своего времени тренировке и помощи младшим.
2) Большинство задач, встречающихся на олимпиадах, можно решить, используя некоторое число приёмов. Необходимо как можно раньше научить стандартным приемам и классическим примерам:
2.1) Ускоренное усвоение школьного курса. К концу девятого класса необходимо знать стандартный уровень школьного курса, исключая стереометрию и начало анализа (интегрирование на олимпиадах, как правило, не встречается, а вот производные знать необходимо).
2.2) Классические задачи и приемы. В конце статьи приведены ресурсы для таких задач.
3) Делать упор на сильные и слабые стороны учеников. Каждая задача на олимпиаде оценивается в одинаковое количество баллов вне зависимости от сложности. Нужно научиться решать легкие задачи, чтобы добиваться успеха. Лично мне легче всего давались задачи классической геометрии и на доказательство неравенств, поэтому я делал упор на то, чтобы быть способным решить хотя бы их. Алгебраические и геометрические задачи менее оригинальны — их можно решить, зная определенное число теорем. С логическими, комбинаторными и задачами из области теории чисел дело обстоит сложнее — тут требуется дополнительная смекалка и креативность мышления.
4) Необходимо мотивировать ученика. Целью может быть, например, поступление в хороший ВУЗ — успехи на олимпиадах открывают многие двери. Можно установить и небольшие поощрения за хорошие результаты на отборочных или даже тренировочных тестах.
Ученику
1) Полезно иметь хорошую толстую тетрадку, которую можно использовать как справочник (записывать нужные и интересные формулы/теоремы), а также сборник любимых задач. Повторюсь, так как существует довольно ограниченный набор необходимых теорем, лучше держать их в своей тетрадке, а не иметь стандартный печатный справочник, в котором зачастую довольно много лишней информации. В тетради можно записывать красивые решения интересных задач, а также еще нерешенные задачи (иногда вопрос может оставаться нерешенным целый год, пока наконец не «раскусишь» его).
2) В той же тетради или в другой — хранить все задачи летних школ и тренировочных лагерей. Как правило, такие занятия проводятся специальными тренерами, имеющими определенный опыт. К задачам можно возвращаться в обычное время, а также использовать для передачи опыта младшим.
3) Регулярно тренироваться. Предметные олимпиады — это тот же спорт. Необходимо поддерживать форму и уделять тренировкам хотя бы несколько часов в день. Перед важными экзаменами нагрузку нужно увеличивать.
4) Постоянное самообучение. Сегодня олимпиады очень быстро эволюционируют. На международных олимпиадах встречаются задачи, в которых используются новые приемы. Нужно всегда расширять арсенал знакомых приемов, чтобы быть способным придумать новый.
5) Ставить перед собой цели. Два главных помощника на любом экзамене — это амбиции и уверенность в собственных силах. Нужно не бояться задач, если знаешь, что можешь их решить. Это важный психологический фактор.
6) Не ограничивайте себя олимпиадами. Во-первых, уделяйте время самообразованию в общем, читайте книги, смотрите интересные передачи. Во-вторых, не привязывайтесь к своим дипломам и наградам. Это — только один из этапов вашей жизни. Успехи на олимпиадах помогут вам в при поступлении в ВУЗ, в резюме соискателя работы упоминание о наградах тоже хорошо будет смотреться, но не более. А высшая математика, с которой столкнётесь в университете, будет сильно отличаться от знакомых вам олимпиадных задач.
Программа
Я уже давно не занимался олимпиадами и не работал с учениками. За эти годы многое изменилось, однако дам примерный список материалов, которые помогут в подготовке. Вообще-то, с этим сейчас точно никаких проблем нет. Достаточно открыть любой поисковик, и можно найти ряд отличных ресурсов. Иногда, правда, нужно уметь отбирать из нескольких десятков подходящих книг.
Общие:
1) Problem-Solving Strategies, A. Engel, Springer, 2005 — хороший сборник, разбитый на главы, посвященные отдельным разделами математики. В книге приводятся нужные теоремы, примеры использования для решения и задачи для самостоятельного решения.
2) «Зарубежные математические олимпиады» под редакцией Сергеева И.Н., Наука, 1987, книга уже устаревшая, но задачи хорошо разбиты на разделы, подобраны классические примеры.
3) «Всероссийские олимпиады школьников по математике»
4) задачи областных и республиканских олимпиад прошлых лет,
5) задачи национальных олимпиад других стран за последние пять лет. Особенно полезны олимпиады следующих стран: Россия, Украина, Беларусь, США, Болгария, Корея, Турция, Венгрия, Монголия, Канада, Иран. Немного посложнее будут задач национальных олимпиад Китая и Румынии.
6) задачи международных олимпиад (можно начать примерно с 1990 года) и задачи, вошедшие в шортлисты этих олимпиад,
Для некоторых разделов есть хорошие специализированные учебники, которые я настоятельно рекомендую.
Теория чисел:
1) Примерно в 2002 году РНПЦ «Дарын» выпустил сборник задач по Т.Ч., основанный на материалах Сергея Рукшина. Тираж был ограниченный, и я сомневаюсь, что сейчас этот сборник можно найти, но задачи там были хорошие. К сожалению, без решений.
2) 104 Number Theory Problems From the Training of USA IMO Team, T. Andreescu, D. Andrica, Z. Feng, Brikhäuser, 2007 — подборка интересных и относительно сложных задач.
Геометрия
1) «Геометрия 7-11», Прасолов — это школьный учебник для математических классов. Подходит для изучения тем и основных теорем школьного курса. После каждой главы есть сборник задач. Очень хороший материал.
2) «Геометрия. Задачник для 9-11 классов», И. Ф. Шарыгин — на самом деле, этого задачника достаточно, чтоб быть способным решать задачи по геометрии на уровне республиканской олимпиады.
И, напоследок, «Задачи отборочных математических олимпиад» под редакцией Вавилова В.В. — это моя самая любимая книга, точнее, это небольшая брошюрка, у нас она называлась просто «желтая книжка». В нее вошли задачи отборочных олимпиад в СССР и России. В книге приводятся только условия задач без их решений. С одной стороны, это плохо — несколько поколений не смогли прорешать все задачи, но с другой стороны, это только подогревало азарт — целью было решить как можно больше задач из этого сборника.